B sitesinin veritabanına bağlanma işini doğrudan B sitesinden erişerek yapabilirsiniz.
1. B sitesinde web servis gibi çalışacak bir sayfa oluşturun. Bu sayfa kendisine POST yöntemiyle gelen verileri alsın, kendi veritabanına yazsın.
2. A sitesinden bu B sitesindeki sayfaya POST isteği gönderin.

B sitesinde integration.php sayfası

$productId = $_POST["product_id"];
$newPrice = $_POST["price"];

updateDatabase("UPDATE products SET price='$newPrice' WHERE id=$productId");

echo json_encode(["status"=>true, "message"=>"Price updated successfully"]);
exit();

A sitesinde bir ürünün fiyatını kendi veritabanına kaydederken, B sitesine de durumu bildiren sayfa

// ... A sitesi kendi veritabanında güncelleme işini yaptıktan sonra B sitesine de verileri gönderiyor...

$fields = ['product_id' => '1234', 'price' => '19.90'];

$postvars = http_build_query($fields);

$ch = curl_init();
curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, "https://b.site/integration.php");
curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, count($fields));
curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, $postvars);
$result = curl_exec($ch);
curl_close($ch);

// Burada da dönen $result değerine göre işlemin başarılı/başarısız oluşuna göre aksiyon alınabilir...

Dikkat: Bu örneklerde hiçbir güvenlik önlemi alınmadığı için saldırıya çok açık.
B sitesinde hangi siteden istek atıldığının tespiti, SQL injection önlemleri, A sitesinin B sitesine istek göndermeden önce B sitesinde oturum açması veya bir token alması...
Ama temel olarak sunucular arası veritabanı bağlantısı kuramıyorsanız siz de böyle bir yola başvurabilirsiniz.