Merhaba,
Öncelikle Node JS projelerini Plesk panel üzerinden çalıştırmanı pek tavsiye etmem. Kendine ait bir sanal sunucu alarak onun üzerinde web sayfanı çalıştırabilirsin.

Ancak yine de Plesk üzerinde NodeJS projeni çalıştırmak istiyorsan, bu mümkün. Bunun için Plesk paneline NodeJS eklentisini kurman gerekiyor. Eğer bu eklenti kurulu değilse, Hosting sağlayıcından bunu talep edebilirsin.

Proje dosyalarını web sayfan için ayrılmış olan dosya yöneticine kurduğunu ve Plesk paneline NodeJS eklentisinin kurulmuş olduğunu var sayarak devam ediyor.

• Plesk Panelin üzerinden alan adını bul ve Node.JS alanına git;
  

• Karşına çıkan bölümler ve anlamlarını aşağıya ekledim. Kendine uygun şekilde doldur;
  Node.JS Sürümü: projenin hangi nodejs sürümünde çalışacağını gösterir.
  Belge Kökü: web sayfanı göstereceğin alan adının veya alt alan adının belge klasörünü gösterir.
  Uygulama Modu: Uygulamanın hangi modda çalıştıracağını gösterir. Geliştirici araçlarının erişilmesini istiyorsan 'development', uygulamanın paylaşıma açık olduğunu düşünüyorsan 'production' seçebilirsin
  Uygulama URL'si: Uygulamanın paylaşıma açık bağlantısını gösterir.
  Uygulamanın Başlatma Dosyası: NodeJS projeni çalıştıracağın dosyayı gösterir. Plesk NodeJS eklentisi, uygulamanın başlattığın zaman bu dosyayı node ile çalıştıracaktır.

• Bu alanları doldurduktan sonra sol üstte bulunan Node.js'yi etkinleştir butonuna tıkla.
  

• Node.js eklentisini etkinleştirdikten sonra, eğer bölümleri doğru bir şekilde doldurduysan, uygulaman içerisinde NPM ile indirdiğin modülleri kullanmak için NPM kurulumu butonuna tıkla.
  DIKKAT: Bu işlemi yapabilmen için sağ kısımda bulunan Yapılandırma Dosyalarına erişim bölümünde package.json dosyasını görebilmen gerekiyor.
  

• Kurulum tamamlandıktan sonra Uygulamayı yeniden başlat butonuna tıkla ve kendini plesk in sihirli ellerine bırak.

Belirttiğim gibi benim de çok anladığım bir konu değil Plesk. Ancak, anladığım kadar anlatmaya çalıştım.
İyi çalışmalar.