Arkadaşların sunduğu kodlar çalışır(kısmen) fakat her update işleminde tüm li elemanları güncellenir. Eğer container listesi çok fazla li içeriyorsa ve/veya içerdiği her li elemanı p harici başka elementler de içerecekse üstüne buna CSS de eklenince yavaşlık meydana gelebilir.

Dolayısıyla bu işi ID kullanarak yapman daha faydalı olacaktır. Aşağıya çalışan bir demo linki bırakıyorum. Bunu kendi ihtiyaçların doğrultusunda güncelleyebilirsin.

Dynamic Elements - Prototurk

eğer yeni değeri ve eski değeri yazdırmak istiyorsan tayfun erbilenin Javascript spread ve rest operatörleri videosunu izleyebilirsin

eğer dinamik olarak verdiğin değer olsun istiyosan fonksiyon kullanman gerek

const container = document.getElementById('container');
let a;
let testNames = [];

function deneme(deger){
    testNames = [{testName: deger}];
    
        testNames.forEach(function(x){
        a = document.createElement('li')
        a.classList.add('li-item')
      
        a.innerHTML += `<p>${x.testName}</p>`;
        container.appendChild(a)
    });
}

deneme('name changed');

test edemedim umarım dogrudur istediğin böyle bişeyse tabi

:/

başka yolu var mıdır

let testNames = [ {testName: 'test'}, {testName: 'test2'} ];
function createElement(testNames) {
const container = document.getElementById('container');

testNames.forEach(function(x){
let li;
    li = document.createElement('li')
    li.classList.add('li-item')
  
    li.innerHTML += `<p>${x.testName}</p>`;
    container.innerHTML(li)
})
}

testNames[0].testName = 'name changed';

createElement(testNames)

Ekrana yazdırmış olduğun değerleri tekrar güncellemen gerekiyor. Şimdi işlemi nasıl yaptırıyorsun bilmiyorum sadece dizi içindeki nesneyi değiştiriyorsan çalışmaz zaten.
Eğer tekrar foreach kullanıyorsan appendChild kullandığın için üstüne ekleme yapar o yüzden innerHtml kullanarak eski değerleri silmesini ve yeni değerleri yazmasını sağlarsın.
Uzman bir arkadaş farklı bir bakış açısı ile benden daha faydalı olabilir. Test edemediğim zaman kod hatası yapabailiyorum.