Bir hata yapmış olmalısınız. Verdiğiniz linkte JS kodlarını şu şekilde düzenlediğimde bir sorunla karşılaşmadım:

$(function(){
	IftarSahurVakti(9146);
	$('#sehirler option[value="9402"]').prop("selected", true);
});
    
// global olarak interval'i tutacak bir değişken oluşturuyorum:
var countdownInterval = null;

function IftarSahurVakti(targetLocationId)
{
    var $test = $("#imsakiye").eq(0);
    $countdownName = $test.find("#test-countdown-name");
    $countdown = $test.find("#test-countdown");

    var now = new Date();
    var tomorrow = new Date(now);
    tomorrow.setDate(tomorrow.getDate()+1);

    $.ajax({
        type:"get",
        url:"https://namaz-vakti-api.herokuapp.com/data?region="+targetLocationId,
        success:function(response){
            var todayImsak = response[0][1].split(":");
            var todayAksam = response[0][5].split(":");
            var tomorrowImsak = response[1][1].split(":");
            var todayImsakDate = new Date(now.getFullYear(), now.getMonth(), now.getDate(), todayImsak[0], todayImsak[1], 0);
            var todayAksamDate = new Date(now.getFullYear(), now.getMonth(), now.getDate(), todayAksam[0], todayAksam[1], 0);
            var tomorrowImsakDate = new Date(tomorrow.getFullYear(), tomorrow.getMonth(), tomorrow.getDate(), tomorrowImsak[0], tomorrowImsak[1], 0);

            if(now <= todayImsakDate) $countdownName.text("Sahura kalan süre:");
            else if(now > todayImsakDate && now <=todayAksamDate) $countdownName.text("İftara kalan süre:");
            else $countdownName.text("Sahura kalan süre:");

            calculateCountdown(todayImsakDate, todayAksamDate, tomorrowImsakDate, $countdown);
          
            // daha önce oluşturulmuş bir interval varsa onu kaldırıyorum.
            if(countdownInterval) clearInterval(countdownInterval);
          
            // Yeni oluşturacağım interval'i global interval değişkenime atıyorum.
            countdownInterval = setInterval(function() {
                calculateCountdown(todayImsakDate, todayAksamDate, tomorrowImsakDate, $countdown);
            },1000);
        }
    });
}

function calculateCountdown(imsakDate, aksamDate, tomorrowImsakDate, $element) {
    now = new Date();
    var targetDate = null;
    if(now <= imsakDate) targetDate = imsakDate;
    else if(now > imsakDate && now <=aksamDate) targetDate = aksamDate;
    else targetDate = tomorrowImsakDate;
    
    var hours = parseInt((targetDate - now) / (1000 * 60 * 60) % 24);
    var minutes = parseInt((targetDate.getTime() - now.getTime()) / (1000 * 60) % 60);
    var seconds = parseInt((targetDate.getTime() - now.getTime()) / (1000) % 60); 
    $element.text(hours + " saat " + minutes + " dakika " + seconds + " saniye");
}