Hocam kodunuzdan sorunun ne olduğunu tam anlayamadım ancak aşağıdaki şekilde yaptığımda sıkıntısız çalışıyor.

export default class App extends React.Component {
    state = {
      value: '',
    }
    
    showAlert(){
      Alert.alert(  'Alert Title',  this.state.value);  
    }
    
    onChangeText(text) {
        this.setState({
          ...this.state,
          value: text
        })
    }
    
    render() {
        return (
          <View style={styles.container}>
          <TextInput
            style={{ height: 40, borderColor: 'gray', borderWidth: 1, width: 200 }}
            onChangeText={text => this.onChangeText(text)}
            value={this.state.value}
          />
          <TouchableOpacity onPress = {this.showAlert.bind(this)} style = {styles.button}>
             <Text>Alert</Text>
          </TouchableOpacity>
          </View>
        );
    }
}

Bu şekilde anlaşılmazsa diye ayrıca [https://snack.expo.io/ByrpzUY78](https://snack.expo.io/ByrpzUY78 "Şuraya") da örneği kaydettim.