kodu kesinlikle optimize edebilirsin ama konsept olarak bu kod işine yarayacaktır

<button id="show"> show </button>
<div id="container"></div>

const btn = document.getElementById("show");
const container = document.getElementById("container");

let isHide = true;
let isOver = false;


var startAutoHideContainer = () => {

  isHide = false;

  let counter = 0;
  var interval = setInterval(() => {

    if (!isOver) {
      counter++;
    } else {
      counter = 0;
    }

    if (counter == 2) {
      container.style.display = "none";
      clearInterval(interval);
      isHide = true;
    }
  }, 1000);

}

btn.addEventListener("click", () => {

  if (isHide) {

    isHide = true;

    container.style.display = "block";
    startAutoHideContainer()

  }

})

container.addEventListener("mouseover", () => isOver = true);
container.addEventListener("mouseout", () => isOver = false);

edit: kodları paylaşırken herhangi bir css kodu paylaşmadım pek tabi mouseover ve mouseout eventlerinin çalışabilmesi için container'ın yükseklik ve genişliğe ihtiyacı olacaktır.