Soru sorulalı çok olmuş ve çözülmüş ancak cevap girilmemiş. Daha sonra ihtiyaç olursa diye cevabı yazmak istedim.

__init__ fonkisyonu içinde butona clicked.connect metoduyla başka bir fonksiyona bağlayarak istediğiniz işlemi yapabilirsiniz. Burada daha düzenli kod yazmak adına isterseniz bir buton handler fonksiyonu yazıp bu fonksiyonu da init içinde çağırabilirsiniz.

def __init__(self):
    self.button_adi.clicked.connect(self.calisacak_fonksiyon)
def calisacak_fonksiyon(self):
    print("Buraya buton tıklanınca çalışacak fonksiyon")