İnputlara bir id vererek fonksiyonun içinde değerle tutabilir ve kontrol edebilirsin.

function personel_ekle_ajax() {
  var veriler = $('#personel_ekle_ajax').serialize();
  var username_input = $('#username_id').val()
  var password_input = $('#username_id').val()
  if(username_input.length <= 0){
    alert('Kullanıcı adını giriniz');
  }else if(password_input.length <= 0){
    alert('Şifreni giriniz');
  }else{
    $.ajax({
      type: "POST",
      url: "ajax/personel_ekle.php",
      data: veriler,
      success: function (response){
        toastr.success('İşlem başarıyla sonuçlandı');
        FormSifirla($('#personel_ekle_ajax'));
      },
      error: function (response) {
        toastr.error('Lütfen zorunlu alanları doldurunuz.');
      }
    })
  }
};

Ve ya aksenkron bir işlemin olacak ve sana gelecek cevaba göre bir aksiyon almak istiyorsan ajax/personel_ekle.php içerisinde verilere göre bir if else sütnu kurup
bir cevap göndererek aksiyonu aşağıdaki gibi alabilirsin

function personel_ekle_ajax() {
  var veriler = $('#personel_ekle_ajax').serialize();
  $.ajax({
    type: "POST",
    url: "ajax/personel_ekle.php",
    data: veriler,
    success: function (response){
      if (response=='username_err') {
        aler('Hata');
      }else if(response=='password_err'){
        aler('Hata');
      }else{
        toastr.success('İşlem başarıyla sonuçlandı');
        FormSifirla($('#personel_ekle_ajax'));
      }
    }
  })
};